十字相乘法與系數的關系
来源:新锦娱乐  发布时间:2020-06-24 17:31
  
  新锦江娱乐:www.xjj01.com,问 題:一元二次方程式ax2 + bx + c = 0之中,a、b和c都是整數。若方程的解都是有理數,證明:a、b或c中,必有一个雙數。
  答 案:假設a、b和c都是單數,設有理數解為 [q][p]  和 [r][s]  其中p、q、r和s都是整數。則有
  (px - q)(sx - r) = 0
  psx2 - (pr + qs)x + qr = 0
  由於ps、-(pr + qs)和qr分別是單數a、b和c的因數,因此亦為單數。
  因為ps和qr都是單數,所以p、s、q和r都是單數,但這會推出-(qr + qs)是雙數,矛盾。
  因此a、b和c之中,必有一个雙數。
  題解中要留意的是,算式psx2 - (pr + qs)x + qr = 0当中,雖然看來跟原本的算式ax2 + bx + c = 0很相似,但不能說a就是ps,c就是qr之类,因為可以是差了一个倍數的。比如4x2 + 2x - 2 = 0,解是[1] [2]和-1,但如上邊的做法,把算式寫成(2x - 1)(x + 1) = 0,展開后得出的算式却是2x2 + x - 1 = 0,各系數就相差了一个倍數。
  這道題有趣的地方,是结論很常见,但沒留意的话真的一直不會發現。系數為整數的一元二次方程,解為有理數的,多數在解一些基本的一元二次方程、練习十字相乘法的時候,就會见过無數条相關的題目,但原來系數当中總有个雙數。說明白了,原理很间單,但沒聽过的话就未必會留意到。
  看奥數的題目,有時用欣赏的角度去看问題,也是挺好的,未必看來就难到不得了的才算好。比如題目的情景很常见,结論却是從前沒想过的想法,那也不錯。就像這次的情景和结論,若是論难处來說,可能未必有什麽挑战性,但在看一些一元二次方程的時候,多了一个角度,長遠也豐富了思想。
  從应用角度來說,若果见一元二次方程裏的系數都是單數,那就不能轻易做到十字相乘,直接用公式好了。比如3x2 - 3x - 1 = 0,系數都是單數,按這次的结論,要解就用公式,不用費神去試用十字相乘。
  在平常做數學題的过程中,不時留意一下有什麽情景較普遍的,對學數學很有益处,就像在一个小地區的交通網酪上加多了幾条高速公路,長遠來說,方法也就更快了。
  這些情景普遍的題目,好处明顯,但也是可遇不可求,就是想找也未必能找到多少。在艱难的问題裏,耐力練得够好,遇這些較浅易的技巧,一學就會了。若是一心去找些小工具,难找之馀也練不出什麽,一會就放弃了。
  暑假快到了,學生多了時間待在家裏,閒時可以看一些數學網页,培养對數學的兴趣。遇上难題時,有意志去鍛炼,不是一朝一夕想做就做得好的,背后都是靠兴趣。兴趣的來源,有時是些數學故事,有時是有趣的问題,有時是精彩的推理,這些都是依靠閒時體驗。
  间介:奥校於1995年成立,為香港首間提供奥數培训之註册慈善機構(編號:91/4924),每年均举辦「香港小學數學奥林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛质的學生。學員有機會选拔成為香港代表队,獲免費培训并惨加海內外重要大賽。文章来源:新锦江娱乐:www.xjj6789.com
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